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学物理也要用到基础数学 《张朝阳的物理课》推导球坐标系体积元

2月20日12时,《张朝阳的物理课》第三十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间。
发布时间:2022-02-21 14:32        来源:赛迪网        作者:赛迪网

2月20日12时,《张朝阳的物理课》第三十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间。他先带着网友复习麦克斯韦速度分布律,补充了速度分布化为速率分布的细节,引出关于直角坐标系与球坐标系的讨论,并导出球坐标系的体积元。之后以球壳与质点间的引力计算为例,结合巧妙的积分参数变换,得到具体公式,最终发现球壳所受引力可以等效到其质心上,即质量集中到球心。将球壳积分变为球体也具有同样的结论。

人的照片上写着字描述已自动生成

“今天是复习和反刍的一天。”张朝阳说,“上节课谈了玻尔兹曼在速度场和重力场的分布,今天本来想讲点玻尔兹曼分布更普遍的证明,但比它更重要的,是组合与熵的概念。这样就得学点热力学、学点数学,补充点基础知识。”

区别与联系:麦克斯韦速度分布与速率分布

张朝阳先带着网友复习如何推导麦克斯韦速度分布。“它重点强调理想气体的各向同性,表明速度分布只与速率有关。”他解释说,依据三个垂直方向上速度分布的独立性,可以将总的速度分布函数分解为各个方向上速度分布函数的乘积;之后取对数,将乘积化为求和的形式,再对某一速度分量求偏导;结合一些简单的变换,就可以用分离变量法,解出各方向上的速度分布,进而回过头来,得到完整的三维速度分布。

利用球坐标系与直角坐标系中体积微元之间的关系,可将速度分布化为速率分布。张朝阳指出,“速率分布显示,粒子速率趋于0时,概率密度趋于0。然而,速度分布却显示,粒子在某方向上的速度为0时,概率密度取到最大值。”

怎么理解这个看似矛盾的结果呢?张朝阳解释说,速度分布描述的是,速度处在速度区间Vx~Vx+dVx、Vy~Vy+dVy、Vz~Vz+dVz的粒子数,它对x、y、z三个分量都有要求,只要其中一个速度分量超出此区间,就不计算在分布里面。但是,速率分布描述的是速率处在速率区间V~V+dV的粒子数。由速率与速度的定义,可以知道他们并不是一一对应的。一个速率可以对应多个速度。一个速度区间A的粒子,对相应的速率区间dV有贡献;但速率区间dV,包含的不只有速度区间A的粒子,还包含了其它速度区间B、C、D等的粒子。由速率与速度之间的关系,可以看出,当速率越小,其在球坐标系对应的球面越小,直观来讲就是对应的可取速度状态数越少。所以,即使速度分布在各自速度分量趋于0时能取到最大值,对速率分布,当速率趋于0时,对应的状态数急剧下降,概率密度趋于0。

如何定量描述速率区间与速度区间状态数的对应关系呢?张朝阳告诉网友,“这就涉及到球坐标系体积微元的推导。”

几何与变换:球坐标系的体积微元

张朝阳对着示意图边写公式边推导。他说,在球坐标(r,θ,φ)所示的某点上,给θ做一个微小的变化dθ,同时也给φ做一个微小的变化dφ,就会在半径为r的球面上,划出一个边长分别为rdθ 与rsinθdφ的小面积元,其面积大小为r^2sinθdθdφ,若对r再做个微小的变化dr,则会形成一个以前述面积元为底、高度为dr的体积微元,其体积大小是r^2sinθdθdφdr,这就是球坐标区间θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+dr所对应的体积。

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(推导球坐标系的体积元)

在笛卡尔坐标系里,体积微元是dxdydz;将积分变量从直角坐标系变换到球坐标系后,就可以将直角坐标的体积微元换成r^2sinθdθdφdr再继续积分。当然,类似地,反过来从球坐标到直角坐标也是可以进行变换的。

同理,将x,y,z换成速度Vx,Vy,Vz,速度区间所示的体积微元dVxdVydVz对应到球坐标系里的体积微元就是V^2sinθdθdφdV,其中V是速率。所以当速率趋于零时,体积元以V^2方式减小到零,这就解释了为什么速率趋于零时对应的速率分布值也趋于零。

分割、换元、组合、等效:计算均匀球体的引力

作为球坐标系的一个典型应用,现在计算质量为m的质点与半径为r的球壳之间的引力,质点与球心的距离为R,具体参数如下图所示:

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(张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力)

张朝阳继续说明,“设球壳密度为ρ,半径为r的球壳上的小体积元质量为ρr^2sinθdθdφdr,其与质点的距离设为l,则球壳与质点m之间的引力为:”

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如果将x与l表示为cosθ的函数,积分会变得比较难,故尝试选取其它参量作为积分变量。注意到cosθ可由其所在的直角三角形的边长表示为:

那么质点m与球壳之间的引力为:

现在只剩下x与l两个参量,只要将其中一个表示成另一个,就可以做积分。张朝阳选择将x用l表示出来,最终全部化成对l的积分。为了完成此目的,注意到包含θ所在的直角三角形有勾股定理:

利用此公式可以将x表示为:

最后代入积分公式里并完成对l的积分后:

注意到球壳的质量为4πr^2ρdr,R是质点到球壳的距离,从上述引力的公式可以发现,质点m与球壳的引力可以等效地看成是球壳所有质量集中在球心的引力。那么将球壳按照r积分起来,就得到质点m与球体之间的引力:

他指出,“可以发现,质点与球体的引力也可以等效地把球体质量看成集中在球心,并且即使球体密度与径向距离有关,也不影响此结论。”

“球体在宇宙学里是普遍存在的形状,可以利用这个结论方便简易地得到其万有引力,所以这个结论具有非常重要的意义。”直播结尾,张朝阳告诉网友。

打造知识直播平台:搜狐视频发力价值直播  吸引诸多科普播主入驻

截至目前,《张朝阳的物理课》已直播三十期。张朝阳先是从经典物理学开始,科普了牛顿运动定律与能量动量守恒;讲解机械振动与波动方程并计算空气中的声速,顺便讨论与此相关的理想气体状态方程和能量均分定理。尔后从经典物理的“两朵乌云”说起,向近现代物理过渡,包括由黑体辐射研究引出的维恩、瑞利-金斯、斯特潘、普朗克等系列公式;由电磁学和时空性质引发的相对论议题,如洛伦兹变换、尺缩钟慢、质能关系、粒子衰变等。

此后逐步进入量子力学领域,从基础的薛定谔方程、算符对易关系、不确定性原理等理论内容,到无限深势阱、氢原子波函数、原子能级与简并等基础模型,再到谐振子量子化、分子振转光谱、自由度的冻结、气体定容比热的温度阶梯等更加具体实用的案例。内容丰富、覆盖广泛,理论公式由浅入深、繁简交融,研究对象由小到大、由少到多,从单电子原子到多电子原子、多原子分子,再到由众多粒子组成的宏观物质,实际上已经逐渐进入到统计物理学领域。接下来的玻尔兹曼分布、麦克斯韦速度分布律等,也就顺势引入,顺理成章。

从三十期的物理课可以看出,《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜——通过观察日常生活现象、用网友比较熟悉的话题来提升兴趣,再以公式推导的方式解释其背后的物理原理,“透过现象看本质”,进而反过来解决生活中的类似问题。

张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情,他希望物理课的受众能保有好奇心,“在好奇心驱使下,了解自然界的奥秘,了解我们在这个世界生存的道理”。该课程于每周周五、周日12时在搜狐视频直播。同时,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看往期完整视频回放。

除《张朝阳的物理课》外,搜狐视频也邀请各专业领域头部播主入驻,直播科普知识,传递价值。北京交通大学理学院教师陈征博士玩起了“奇趣的科学实验”,走进“光的波粒二象性”;康奈尔大学物理化学博士包坤,化身“包大人玩科学”,教普通人看懂2021年诺贝尔奖;还有天体物理博士刘博洋科普“日全食是怎么产生的”,理论物理博士周思益也开通“弦论世界”直播课等。未来还将有更多知识播主入驻,一起互动玩转科学。

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