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太阳中心压强竟然这么大?《张朝阳的物理课》推导太阳中心物理量的估算

3月27日12时,《张朝阳的物理课》第四十期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,向网友介绍太阳的内部结构,以及如何对太阳核心压强、密度和温度进行估算。
发布时间:2022-03-28 16:29        来源:赛迪网        作者:赛迪网

太阳的结构是怎样的?太阳核心压强和温度该如何估算?3月27日12时,《张朝阳的物理课》第四十期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,向网友介绍太阳的内部结构,以及如何对太阳核心压强、密度和温度进行估算。

介绍太阳内部结构与各层特点

直播开始,张朝阳先简短复习了上一次直播课程中估算出来的关于太阳的一些数据:太阳半径Rs约为70万公里,太阳质量Ms约为2.0×10^30千克。

随后,介绍了太阳的内部结构。太阳从里到外主要分为6个部分。最里边的被称为核(Core),其半径约为太阳半径的25%。太阳大部分质量都集中在核。从核边界出发一直到距离中心大约50万公里处的这层是辐射层(Radiative Zone),厚度约30万公里,在这一层中能量从里到外的传递主要通过辐射进行。第三层是对流层(Convective Zone),在这一层的温度梯度比较大,从而形成很强的对流。平时能通过光谱的红移或者蓝移观测这种对流现象。

第四层是很薄的一层,叫光球层(Photosphere),其温度大约是5800K,日常接收到的太阳光主要来自这一层。接下来两层是染色层和日冕。测量的太阳半径主要指的是光球层,比如上次直播课里用黑体辐射估算太阳半径,这一层(光球)几乎是太阳的最外层。

(张朝阳介绍太阳的内部结构)

张朝阳还解释,目前太阳正处于青壮年时期,大约再过50多亿年才会死亡,届时太阳将会变成红巨星,膨胀很多倍,甚至可能把地球吞噬掉。不过大家不用担心,“太阳现在处于很稳定的状态,大家安心吃饭睡觉就好。”

他继续介绍,目前太阳所处的平衡是两种或者多种力相互竞争导致的结果。在太阳的内核,主要是引力和压力之间的平衡。在内核,温度极高,里边的原子核、电子的平均动能远大于氢原子电离能13.6 eV,因此里边的物质处于电离状态,并且在计算上可以当成理想气体来处理。内核的这些“气体”的密度甚至可达100 g/cm^3,作为一种气体其密度竟然可以达到水的100倍量级。而在辐射层,物质密度大约在0.05 g/cm^3 至0.5 g/cm^3之间。

经过一番口述作为引入,张朝阳开始了本次课程的推导。因为核心区半径是太阳半径的25%,也就是1/4,那么核心区的体积是太阳的1/64。将核心区的密度取为100 g/cm^3,外面各部分的密度为0.1 g/cm^3,通过估算,核心的质量是外层的15倍。他强调,这只是一个估算,和实际数据会有出入,只要保证数据量级正确即可。因此,可以假设核心区的质量Mc是太阳质量的90%。

计算均匀球壳内部引力  推导流体静平衡方程

为了推导计算太阳中心压强所需的方程,张朝阳先介绍了球体的引力。他说,均匀球体对外物的引力等效于所有质量集中在球心处的引力。但如果是均匀球壳,还是等效于所有质量集中在球心处所产生的引力吗?对于均匀球壳内部的物体,其所受引力又会是怎样的呢?答案是:均匀球壳外物体所受引力依然可以等效于球壳质量集中在球心时的情形,而均匀球壳内物体所受引力为0。

张朝阳解释,假设一个厚度为dr的球壳,半径为r,密度为ρ(r),球壳外的物体距离球壳中心距离为R,那么按照球壳上的点到物体上的距离l来分层,然后做积分,就可以求出总的引力。积分思路的示意图如下:

(张朝阳推导球壳引力的示意图)

张朝阳说,这是以前算过的结果,只要求出每层的势能然后沿着径向求导就可以得到这一层在径向的引力(感兴趣的读者可参见《张朝阳的物理课》第30期的内容。)据此,张朝阳得到如下积分及结果:

可以看到,球壳对球外物体的引力等效于所有质量集中于球心所产生的引力。更进一步地,可以用类似方法计算物体在球壳内所受的引力,会得到如下积分式:

此时由于物体在球壳内,R<r。这个积分的结果是0。张朝阳没有对积分进行详细的计算,不过对其结果进作了通俗的解释。他介绍,球壳内的点假如不在球心,根据引力和距离平方成反比的性质,球壳上靠近物体的那些微元会提供比较大的引力,但是这部分微元比较少;而离物体较远的那些微元会提供比较小的引力,但是这部分微元比较多。而且,这两部分提供的力是相反的。最终刚好互相抵消,球壳对内部物体没有引力作用。

有了这个结果,张朝阳推导,太阳内部的粒子,受到的引力只是比粒子更接近中心的那些壳层的引力,外边壳层对这个粒子没有引力作用。然后,因为存在压力梯度,靠近中心的压力更大,从而产生了一个和太阳引力相互平衡的力。张朝阳假设半径改变dr时,压强改变dP,取半径r处厚度为dr、面积为dS的一个微元,通过受力平衡,可得如下等式:

其中Mr是半径r以内的太阳物质的质量。化简即得:

(张朝阳推导流体静平衡方程)

这就是太阳核心处的流体静平衡方程。如果在辐射层,压强还需要包含光压,不过在核内,光压可以忽略不计。接着,张朝阳补充,Mr是密度ρ(r)关于r的积分,即使考虑理想气体方程

依然无法解这组方程。因此,还需要使用估算来得到一些物理量。

估算太阳核心处的压强、密度和温度

张朝阳先分析中心处的压强变化率。在中心处r较小的区域内,Mr约正比于r的三次方,代入流体静平衡方程,可知dP/dr正比于r的一次方。于是,dP/dr在中心处只能是零。他强调,这说明压强在中心处不能是无穷大。

另一方面,太阳表面Rs处的压强为0,那么核层半径Rc处的压强可以根据流体静力平衡方程通过积分得到:

由于太阳大部分质量集中在核内,所以Mr约等于Ms。但是,由于此区域物质密度ρ(r)很小,导致整个积分结果与核层的压强相比较起来可以忽略,因此可以选择忽略这个压强值。至此,压强从中心以一个很大的有限值降到核层边界约等于0值,这个陡峭的下降曲线可以近似为直线,因此可以将Rc/2处的dP/dr近似为

其中Pcen表示太阳中心处的压强。然后,半径Rc/2的球体体积是半径为Rc的球体体积的1/8,但因为太阳密度是内大外小,所以给半径Rc/2内的质量一个因子2,用Mc/4来估算。然后,使用Mc除以核心层体积来估算半径Rc/2处的密度。最后,根据前文的假设,Mc=0.9Ms。将这些估算代入静力平衡方程,得到

因为Rc=Rs/4,化简得到:

张朝阳强调,这是一个普遍的结果,虽然这个式子来自很多假设和简化,但是这些因素只会影响其中的系数,而恒心的中心压强正比于质量的平方、反比于半径的四次方的规律,是普遍成立的。

(张朝阳估算太阳中心压强)

张朝阳解释,这是一个估算的结果,与实际结果可能会有差别,但量级上肯定是正确的。代入相应数值,得到太阳的中心压强为0.54×10^17 Pa,相当于5.4×10^11个大气压。(注:根据Bradley W. Carroll和Dale A. Ostlie著的《An Introduction to Modern Astrophysics》,太阳中心压强为0.23×10^17 Pa,张朝阳估算的结果和与此数据处于同一量级)

同时,前文说到使用Mc除以核心层体积来估算半径Rc/2处的密度,他也对此进行了计算,结果为0.08×10^6 kg/m^3,也就是80g每立方厘米。张朝阳强调说,这样只是得到一个平均值而已,也只能用来估算半径Rc/2处的密度,实际太阳中心的密度可达150g/cm^3。

紧接着,他使用理想气体物态方程

估算了中心温度。其中的等效粒子质量取为0.85倍的质子质量,最终得到3.5×10^7 K。(注:由于前文估算的中心压强约等于真实值的两倍,这个温度估算值也约等于真实值的两倍。真实值为1.57×10^7 K)

搜狐视频持续打造知识直播平台

截至目前,《张朝阳的物理课》已直播四十期。从去年11月开启第一节物理直播课,他先是从经典物理学开始,科普了牛顿运动定律与能量动量守恒原理等;而后从经典物理的“两朵乌云”说起,向近现代物理过渡,探讨了由黑体辐射研究引出的维恩、瑞利-金斯、斯特潘、普朗克等系列公式。

此后的物理课程逐步进入量子力学领域,从基础的薛定谔方程、算符对易关系等理论内容,到无限深势阱、氢原子波函数,再到谐振子量子化、气体定容比热的温度阶梯等更加具体实用的案例。内容丰富、覆盖广泛,理论公式由浅入深、繁简交融。

从此前的物理直播课可以看出,《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜:注重推导,通过一步一步详尽的数学计算,推导出相关的物理公式,把每个公式从头到尾拆解得十分清晰。正如张朝阳所说,“在好奇心的驱使下,了解自然界的奥秘、了解我们在这个世界生存的道理”。而了解道理最好的方法就是明白道理是怎么得来的,这也是《张朝阳的物理课》始终坚持用扎实的公式推导来讲授物理课程的原因。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放。

除了《张朝阳的物理课》外,在直播方面,搜狐视频正持续打造知识直播平台,陆续邀请各领域的头部播主入驻,进行科普知识直播。包括中国运载火箭技术研究院专家钱航,直播讲述航空航天事业发展史;中国科学院基因组研究生博士、元码基因创始人田埂讲解基因组学与生活的紧密联系;香港科技大学物理系副教授王一则为网友介绍20 世纪以来物理学的发展。

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