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《张朝阳的物理课》气体比热随温而变? 探究双原子分子比热问题

2月13日12时,《张朝阳的物理课》第二十八期准时开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,探究双原子分子的比热问题。
发布时间:2022-02-14 10:17        来源:赛迪网        作者:赛迪网

2月13日12时,《张朝阳的物理课》第二十八期准时开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,探究双原子分子的比热问题。他向网友介绍比热的概念,先推导单原子理想气体的比热,再利用能量均分定理推导双原子分子的比热,但与实验在室温下测得的数据不符。为了解释实验上观察到的定容比热随温度的阶梯变化,张朝阳引入了量子力学中分立能量的概念,以氢气与一氧化碳为例解释了阶梯曲线。最后利用玻尔兹曼分布与谐振子能级,计算了包含零点能的振动能平均能量,导出振动能对应的比热,与比热阶梯图在温度较高时的曲线变化一致。

人的照片上写着字描述已自动生成

“我们的课程有很丰富的内容,如果不复习的话,还是有一定的难度。”今天开讲之前,张朝阳提醒网友学习物理要勤加复习,“一定要下载搜狐视频App。”他继续说,“我们还是学点物理吧,尽管有点费脑,但它是真实的、重大的,跟我们每个人的生活息息相关。”

经典力学的比热:比热依赖自由度  能量均分是基础

本节课张朝阳带着网友先研究摩尔比热容问题。摩尔比热容是1mol物质温度升高1K所需的热量,分为定容比热容和定压比热容。在温度升高的前提下,前者要求物体体积不变,后者要求压强不变。一般升高温度时,为了保持压强不变需要膨胀体积,物体对外做功会消耗内能,所以升高同样温度时,定压情况会比定容情况吸收更多的热量,即定压比热容一般会比定容比热容大。张朝阳介绍,这里只考虑定容摩尔比热容,为了方便,统称为定容比热。

“先来看单原子理想气体的比热情况。” 他提示,在温度为T时,根据能量均分定理,每个原子在每个自由度上具有1/2kT的能量,其中k是玻尔兹曼常数。那么一个方向上的动能具有1/2kT的能量,由于这里的理想气体是三维的,有三个方向,一共有3/2kT的能量,那么N个原子组成的气体的总内能是:

将粒子数N用摩尔数n与阿伏伽德罗常数A表示为N=nA,则内能用摩尔数表示为:

其中,R=kA为普适气体常数。那么计算1mol物质温度升高1K所需的热量就得到单原子理想气体的定容比热:

讨论完单原子理想气体的比热后,张朝阳带领网友继续研究双原子分子理想气体的比热问题。同样根据能量均分定理,双原子分子每个自由度上分配1/2kT的能量,双原子分子有3个质心平动自由度,有2个转动自由度和1个振动自由度,除了动能自由度外,其振动对应的势能也可以储存能量,从而也贡献1个自由度,这样一共有7个自由度,那么单个分子的能量是7/2kT,类似单原子分子的计算,也可以求得双原子分子理想气体的定容比热是:

遗憾的是,实验上测得的室温下双原子分子气体的定容比热并不是7/2R,而是5/2R。为什么会这样?他将悬念留在后面。

被“冻结”的自由度:转动振动逐级解冻  定容比热阶梯上升

张朝阳继续进行推导,“双原子分子气体的定容比热是随温度变化的,变化曲线像阶梯一样。”

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(定容比热随温度的阶梯图)

“要解释定容比热随温度的阶梯变化,就需要用到量子力学中能量分立的事实,以及玻尔兹曼分布的概念。”张朝阳介绍。玻尔兹曼分布是指粒子在不同能级上分布的概率满足:

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若能级0为基态,由于能级能量在e指数上而且为负,粒子出现在某激发能级上的概率,随该能级能量的升高而快速下降。为了分析在室温下粒子处在激发态上的概率大小,张朝阳将kT用波数表示出来大约为200/cm,如果要激发的自由度的能量∆E对应的波数比这个大得多,那么出现在这个自由度对应的激发能级上的概率将会非常小,分配到这部分自由度的能量将明显减少,不再像能量均分定理所说的那样平均分配。

张朝阳以一氧化碳为例,根据双原子分子转动能级角动量公式,激发其转动能对应的特征波数B大约为2/cm,比室温下的kT对应的波数要小得多,于是其转动能可以被比较完整地激发,满足能量均分定理。但激发一氧化碳振动能所对应的波数则远远大于室温下kT对应的波数,按照玻尔兹曼分布公式,粒子处在振动能激发态的概率会非常小,几乎都处于基态,其振动自由度被冻结,所以计算比热时可以忽略振动部分的2个自由度,从而室温下的比热的实验测定值就是5/2R。

经过推导分析,不难理解比热随温度的阶梯性质。张朝阳解释,当温度较低时,kT较小,只有三个自由度的质心平动能可以被完整激发,对应的比热是3/2R。温度增大时,kT逐渐变大,粒子出现在转动能激发态上的概率增加,越来越多的能量可以分配到转动能上,2个转动自由度冻结解除,得到的比热就是5/2R。当温度继续升高,以至kT可以与振动能相比拟时,出现在振动激发态上的概率增大,最终振动能自由度也可以贡献比热,最终得到的比热为7/2R。这就解释了比热随温度呈现阶梯状,以及各平台对应的比热值。

统计方法计算振动热容: 粒子指数布居  能级简并度相同

“除了能量均分定理可以计算比热,我们还可以通过玻尔兹曼分布与量子力学能级计算比热。”张朝阳继续推导,由于振动能级非常简单,我们以双原子分子理想气体为例,计算其振动自由度对应的比热。气体分子能量服从玻尔兹曼分布,分子处在不同能级的概率为:

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那么,双原子分子理想气体中,单个分子的能量期望值为:

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在温度较高,kT>>ℏω 时,上述能量可以按照ℏω/(kT)展开:

可以求得振动自由度贡献的比热为:

这与能量均分定理求得的2个振动自由度贡献的比热结果2*1/2 R一致,也与定容比热随温度升高的阶梯图平台值一致。

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(张朝阳用玻尔兹曼分布推导分子振动能量)

打造知识直播平台:搜狐视频发力价值直播  吸引诸多科普播主入驻

截止目前,《张朝阳的物理课》已直播二十多期。在第一、二课中,张朝阳科普了“力”和“速度”,算出马斯克的飞船和中国空间站每日绕地飞行圈数;第三、四课和“振动”相关,科普可见光的基本知识;第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论;在第七、八、九课重温经典物理学的两朵乌云。

第十、十一课重点回顾黑体辐射曲线及其应用;第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界,推导出著名的公式“E=mc²”,并论证钟慢尺缩效应;第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变;第十六课开始进入量子力学,讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡不确定性原理,以及薛定谔方程等。

从二十多期的物理课可以看出,《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜——通过观察日常生活现象、用网友最熟悉的话题来提升兴趣,再以公式推导的方式解释其背后的物理原理,“透过现象看本质”,进而反过来解决生活中的类似问题。

张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情,他希望物理课的受众能保有好奇心,“在好奇心驱使下,了解自然界的奥秘,了解我们在这个世界生存的道理”。该课程于每周周五、周日12时在搜狐视频直播。同时,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看往期完整视频回放。

除《张朝阳的物理课》外,搜狐视频也邀请各专业领域头部播主入驻,直播科普知识,传递价值。北京交通大学理学院教师陈征博士玩起了“奇趣的科学实验”,走进“光的波粒二象性”;康奈尔大学物理化学博士包坤,化身“包大人玩科学”,教普通人看懂2021年诺贝尔奖;还有天体物理博士刘博洋科普“日全食是怎么产生的”,理论物理博士后周思益也开通“弦论世界”直播课等。未来还将有更多知识播主入驻,一起互动玩转科学。

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