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无限深势阱的薛定谔方程怎么解?《张朝阳的物理课》初探薛定谔方程

无限深势阱的薛定谔方程怎么解?1月9日12时,《张朝阳的物理课》第十九期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,仔细分析了相速度与群速度的差别,阐明群速度才是传递能量与信息的速度。
发布时间:2022-01-10 16:51        来源:赛迪网        作者:赛迪网

无限深势阱的薛定谔方程怎么解?1月9日12时,《张朝阳的物理课》第十九期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,仔细分析了相速度与群速度的差别,阐明群速度才是传递能量与信息的速度。并利用分离变量法,得到定态薛定谔方程,又以无限深势阱问题为例,具体解出分立的能级和能量本征态波函数。最后引入并赋予傅立叶变换物理意义,再次探讨不确定性原理,一窥量子力学世界。

人的照片上写着字描述已自动生成

与往期直播逐步推导公式不同,一开场张朝阳直奔主题,在“直播白板”上写下薛定谔方程。“它相当于微观世界的牛顿定律。”张朝阳说,“数学家要穷尽所有的可能性,但搞物理的人,会去猜几种特别的情况,所以今天我们来猜猜它的解。”他同时也提醒网友,“学习量子力学,需要掌握微积分、线性代数,傅立叶变换等基础知识。”这些知识也在讲课中尽数用到。

利用分离变量法求解  得到定态薛定谔方程

张朝阳先是带着网友复习上节课讲到的波的速度的概念,探讨了相速度与群速度。随后,他开始通过分离变量法解薛定谔方程。方程里的波函数既含有对时间t的偏导,也有对位置x的偏导,采取分离变量法,将时间t与位置x分开,也就是假设波函数具有如下的形式:

代入薛定谔方程中,便可将含有位置x的项与含有时间t的项,分开到等号两边,即:

张朝阳介绍,由于这个式子对任意的位置x与时间t都成立,所以等号左边(或右边)是一个与位置x和时间t都无关的常数,我们假设这个常数为E,则可将原来复杂的二元微分方程分解为两个一元微分方程:

“这就大幅降低了解方程的难度。 若再将其化简一下,即可得到定态薛定谔方程。”张朝阳边写边说。

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(张朝阳在“直播白板”上推导定态薛定谔方程)

探索无限深势阱  得到分立的能级

为具体展现求解薛定谔方程的完整过程,张朝阳举了无限深势阱的例子。他介绍说,当位置x在0到a之间,势能U(x)为零,而其它地方势能无穷大,所以波函数在位置0到a区域之外都为零,而由于波函数又有连续的性质,所以波函数在x=0与x=a时也为零。于是,当x在0到a之间时,可写出其定态薛定谔方程:

对应的边界条件为:

这个微分方程是非常经典而容易解的,张朝阳解出这个一元微分方程,便得到能级E的表达式:

与对应的能量本征态波函数:

其中,n取正整数。

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(张朝阳在“直播白板”上解无限深势阱的能级)

“与经典理论的连续性有很大不同,可以看到能量E是分立的。”张朝阳总结。

赋予傅立叶变换物理意义  探讨不确定性原理

在随后的直播中,张朝阳还介绍了数学的傅立叶变换与量子力学表象之间的关系。“动量在量子力学里其实是个算符。”他在白板上逐步推导:

他介绍,若某量子态满足如下公式:

则说明这个量子态是算符的本征态,而数值p就是这个本征态对应的本征值。此时就是描述动量为p的粒子的波函数。 

传统的数学傅立叶变换是:

“这跟量子力学不确定性原理是相符的。”张朝阳说。 

“我们今天介绍了薛定谔方程在一个简单情形下的应用。未来将继续讲解薛定谔方程,求解氢原子问题。”直播尾声,张朝阳告诉网友,“下一堂课,将对量子力学做进一步的探讨。”

搜狐视频发力知识直播  传播知识玩转科学

自11月5日至今,《张朝阳的物理课》已直播十八期。在第一、二课中,张朝阳科普了“力”和“速度”,算出飞船和空间站每日绕地飞行圈数;第三、四课和“振动”相关,科普可见光的基本知识。第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论。在第七、八、九课重温经典力学的“两朵乌云”;第十、十一课重点回顾黑体辐射曲线及其应用;第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界,推导出著名的公式“E=mc²”,并论证钟慢尺缩效应。第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变。第十六课开始进入量子力学,讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡不确定性,以及薛定谔方程等。

从这十多期的物理课可以看出,《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜——通过观察日常生活现象、用网友最熟悉的话题来提升兴趣,再以公式推导的方式解释其背后的物理原理,“透过现象看本质”,进而反过来解决生活中的类似问题。 

张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情,他希望物理课的受众能保有好奇心,“在好奇心驱使下,了解自然界的奥秘,了解我们在这个世界生存的道理”。在后续课程中,他还将继续以这种直播风格解释生活中常见的物理现象,让普通人能够听懂、专业人士也能认可,激发科学学习的热潮。该课程于每周周五、周日12时在搜狐视频直播。 

除《张朝阳的物理课》外,搜狐视频也邀请多位通识教育播主,科普知识,传递价值。北京交通大学理学院教师陈征博士玩起了“奇趣的科学实验”,走进“光的波粒二象性”;康奈尔大学物理化学博士包坤,化身“包大人玩科学”,教普通人看懂2021年诺贝尔奖;还有天体物理博士刘博洋科普“日全食是怎么产生的”等。未来,还将有更多知识播主入驻,一起玩转科学。

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